| 第２章 経済成長の理論 |
| 【補論２】 均斉成長経路の一般的展開とターンパイク安定性 １ 一般利潤率と価格体系 以下では、本文中の諸命題についてより一般的なモデルのもとで、完全な証明を与える。最初にモデルを提示しておこう。財はｎ種類存在し、第ｉ財を生産するための技術（ａ1i，ａ2i，・・・・，ａni，ｌi）は唯一与えられていて、固定資本、結合生産物は存在しない。ただし、ａijは第ｉ財を１単位生産するのに必要な第ｊ財の量で、ｌiは、同じく労働の量である（ｉ＝１，２，・・・・，ｎ）。また、技術は時間的に不変であると仮定しよう。 第ｔ＋１期の生産に必要な財、第ｔ＋１期の生産に投入される労働の再生産に必要な財は、第ｔ期の生産物によってまかなわれる。第ｔ＋１期の生産のためにこようされる労働者はその生産に先立って賃金の支払いを受け、ｔ期の生産物に支出する。単位労働当りの実質賃金バスケットは、列ベクトルｄ＝（ｄ1，ｄ2，・・・・，ｄn）であらわされ所与とする。ただし少なくとも、その一つの要素は正である。 資本家は、利潤の中から一定の割合ｃ（０≦ｃ≦１）を消費として支出する。第ｔ気乗り順は第ｔ期の生産物に支出され、その消費に関する構成比は列ベクトルｂ＝（ｂ1，ｂ2，・・・・，ｂn）で表わされる。したがって、第ｔ期の生産物に対する消費ベクトルＣtはこのｂのある一定倍となっている。また、各部門の資本家は、利潤の残余部分を次期の生産拡大のための追加的生産財、追加的労働力の購入に当てる。<1> まず、資本家による利潤からの消費支出があるために、利潤をはかるための価格体系と利潤率を確定しなければならない。価格体系は、毎期定常的な均衡が成立しているものとしよう。このときの均衡条件を調べてみよう。ｗを賃金率、ｐ＝（ｐ1，ｐ2，・・・・，ｐn）を均衡価格行ベクトルとすると、 n ｗ＝ｐiｄi＝ｐｄ i=1 さらに一般利潤率ｒは次の条件を満たすものとしてあらわされる。 n ｐj＝（１＋ｒ）（ｐiａij＋ｗｌi） i=1 また、Ａを、その第ｉ行ｊ列要素がａijであるような正方行列であるとすると、 ｐ＝（１＋ｒ）（ｐＡ＋ｗｌ） さらに、これは、 ｐ＝（１＋ｒ）ｐ（Ａ＋ｄｌ） （１） とあらわされる。ただし、ｌは（ｌ1，ｌ2，・・・・，ｌn）の行ベクトルである。またここで、ｄｌはｎ次元正方行列となり、そのｉ，ｊ要素ｄiｌjは、第ｊ産業が１単位の生産を行なうことにって発生する、労働者の第ｉ財への消費需要量である。これまでの前提だけでは、（１）がｒ，ｐについて経済的に有意な解をもつかどうかはわからない。そこで、技術と実質賃金ベクトルによってあらわされるＡ＋ｄｌ行列について、次の諸仮定を設けよう。 ＜仮定１＞ 行列式｜Ｉ−（Ａ＋ｄｌ）｜はホーキンス＝サイモンの条件を満たす。ただしＩはｎ次元単位行列である。 ＜仮定２＞ Ａ＋ｄｌはプリティブである。 ＜仮定３＞ Ａ＋ｄｌは分解不能（Indecomposable）である<2>。 仮定１は、技術が労働力の再生産に必要な財を賄った後も、さらに剰余を発生させることができる水準にあるということである。また逆に、実質賃金水準がその範囲に押しとどめられているといってもよい。これは、置塩氏の剰余条件に対応するものである。仮定２は、すべての財の生産に労働が必要である場合、必然的にみたされるものである。すなわち、ｄi＞０である場合、ｄｌの第ｉ行は必ずすべて正になるからである<3>。したがって、この仮定もそれほど強い仮定ではない。仮定３は、絶対に必要なものとは言い切れない。というのは、このモデルの場合、資本家の消費のためだけに生産される財の存在する可能性がある。すなわち、それらの財が実質賃金財バスケットの構成要素でもなく、その構成要素を生産するための投入財ともならない場合、Ａ＋ｄｌは分解可能な行列となりうる。そして、その分解可能性のもとでも、以下の議論の基本的結果を導出できる可能性はあるが、議論を不必要に複雑にしないようにこの仮定を設ける。 この仮定のもとで、（１）の体系について次の定理の成立が容易に証明できる。 ＜定理１＞ 仮定１、３のもとで（１）式はｐ＞０，ｒ＞０の解をもち、ｄ，ｌ，Ａのどの要素の増加も利潤率ｒを減少させる。 証明 Ａ＋ｄｌについての固有値問題を考えると、仮定１、３が成立しているもとでは、そのフロベニウス根は１よりも小さく、対応する固有ベクトルは要素がすべて正である<4>。すなわち、フロベニウス根を１／（１＋ｒ'）とすると、 １ ＝ｐ'（Ａ＋ｄｌ） １＋ｒ' となる。０＜１／（１＋ｒ'）＜１より、ｒ'＞０、ｐ'＞０であり、これが（１）の解となる。また、Ａ＋ｄｌのどの要素の増大もフロベニウスの定理と仮定３によってその固有根１／（１＋ｒ'）を増大させるので<5>、一般利潤率ｒは減少する。 証明終わり この定理は、仮定の表現を変えたものといえるくらい、直接導出されるものである。しかし、その経済的意味は確認しておく必要がある。仮定１は、社会的な剰余の存在を保証する仮定であるから、一般利潤率が正となることは確実に予測できる。また、Ａ、ｌは社会的な技術状況、水準を表現しているのであるが、その要素の増大は技術水準の低下を意味し、その場合剰余を生産する能力が低下することも十分予測できるものである。また、ｄの要素の上昇は、実質的な賃金水準の上昇を意味し、このとき利潤率が低下することを、この定理は示している。 ２ 均斉成長経路の存在と不安定性 次に物量的な体系を調べよう<6>。第ｔ期の生産物の産出列ベクトルをｘt＝（ｘt1，ｘt2，・・・・，ｘtn）としよう。その産出に対する需要は、われわれの想定のもとでは次のように発生する。まず、われわれは、本文と同様に、生産物は毎期完全に需要されることと、需要された生産財はすべて使い尽くされることを仮定しよう。このとき、生産財の補填需要はＡｘt、生産を拡大するための投資需要はＡ（ｘt+1−ｘt）となる。また消費財としての需要はｔ期に雇用された労働者の消費需要ｄｌｘtと、投資にともなう追加的雇用による需要ｄｌ（ｘt+1−ｘt）、そして資本家の消費需要Ｃｔ（列ベクトル）である。毎期需給は均衡するので、 ｘt＝Ａｘt＋Ａ（ｘt+1−ｘt）＋ｄｌｘt＋ｄｌ（ｘt+1−ｘt）＋Ｃt ＝（Ａ＋ｄｌ）ｘt+1＋Ｃt となる。っこで、資本家の消費ベクトルＣtについて詳しく考察しよう。そのためにｔ期に生み出される総利潤をΠtであらわそう。すると、あきらかにｐＣt＝ｃΠtである。ｃはすでに定義した資本家の消費性向である。一方、Πｔは、 ｒ Πt＝ｒｐ（Ａ＋ｄｌ）ｘt＝ ｐｘt １＋ｒ であらわされる。さらに資本家の消費支出の構成比はｂであるので、各期の財の購入ベクトルは、この一定倍になっている。この倍数をαtとすると、Ｃt＝αtｂであるから、 ｃｒ ｐαtｂ＝ ｐｘt １＋ｒ となる。これをαtについてとくと、 ｃｒ ｐ αt＝（）･ｘt １＋ｒ ｐｂ であるから、結局Ｃtは、 ｃｒ ｂｐ Ｃt ＝（）･ｘt １＋ｒ ｐｂ となる。ここで、行列Ｂを次のように定義しよう。 ｃｒ ｂｐ Ｂ＝ （）･ １＋ｒ ｐｂ すると、需給均衡式は、 ｘt＝（Ａ＋ｄｌ）ｘt+1＋Ｂｘt となり、右辺第２項を左辺にもってくることによって、 （Ｉ−Ｂ）ｘt＝（Ａ＋ｄｌ）ｘt+1 （２） をえる。これは、拡大再生産の基本方程式と呼ばれるものである<7>。 ここでは、価格体系になかったＢ行列が入っていることが最大の特徴となっている。この行列は、資本家の消費需要行列であり、労働者のｄｌ行列に対応するものである。ここでの前提から、資本家の消費によって生産された財が食いつぶされることはありえないので、｜Ｉ−Ｂ｜がホーキンス＝サイモンの条件を満たすだろうことは容易に想像がつく。実際次の補題は、（２）の拡大再生産経路を特徴づける上で重要な役割を果たす。 ＜補題１＞ Ｉ−Ｂは非負の逆行列をもち、（Ｉ−Ｂ）-1（Ａ＋ｄｌ）は分解不能かつプリミティブな非負行列になる。 証明 Ｂの定義により、 ｃｒ ｂｐ ｃｒ １＋（１−ｃ）ｒ ｐ（Ｉ−Ｂ）＝ｐ−ｐ（）･＝ｐ−（）ｐ＝ ｐ １＋ｒ ｐｂ １＋ｒ １＋ｒ （３）１−ｃ≧０より、最右辺は正である。よく知られているように、ｑ（Ｉ−Ｂ）＝ｙという連立方程式があるｙにたいしてｑ≧０という非負解をもつとき、Ｉ−Ｂは非負の逆行列をもつ<8>。したがって、この場合のＩ−Ｂもそのような性質をもつことがわかった。また、そのときフロベニウス根は１よりも小さいので、 （Ｉ−Ｂ）-1＝Ｉ＋Ｂ＋Ｂ2＋Ｂ3＋・・・・・・ で<9>、この右辺は収束する。Ｂm（ｍ＝１，２，・・・・）はすべて非負であるから、 （Ｉ−Ｂ）-1（Ａ＋ｄｌ）≧Ａ＋ｄｌ が成立する。したがって、この右辺が分解不能かつプリミティブであるから左辺もそうである。 証明終わり これらをふまえて、均斉成長経路の存在に関する次の定理を証明しよう。ここで、資本家の貯蓄性向ｓをｓ＝１−ｃとして定義しておこう。 ＜定理２＞ 仮定１，２，３のもとで、初期条件を適当に与えれば、その構成比のまま、すべての財を生産し、成長率ｇがｓｒに等しくなるような均斉成長経路が存在する。また、この成長経路は不安定で、（２）を満たす経路のうち持続性のある経路この均斉成長経路以外に存在しない。 証明 （Ｉ−Ｂ）-1（Ａ＋ｄｌ）は、補題１により非負行列で分解不能であるからフロベニウス根が存在し、それを１／ηとし、その固有ベクトルをｘとすると、ｘ＞０となる。すなわち、 ｘ＝η（Ｉ−Ｂ）-1（Ａ＋ｄｌ）ｘ （４） である。ここで、ｇ＝η−１とおこう。したがって、成長率がｇで部門構成がｘであり続けるような均斉成長経路が存在することがわかった。しかし、これだけの議論ではこの成長率が正（ｇ＞０）となる保証は何もない。もちろんη＞０であるが、必ずしもｇ＞０とはならないのである。もし、ｇ＜０になればそれは縮小再生産である。しかし、われわれの仮定のもとでは、成長率が正となることが次のようにしてわかる。 そこで、（４）式の両辺にｐ（Ｉ−Ｂ）をかけると、 ｐ（Ｉ−Ｂ）ｘ＝ηｐ（Ａ＋ｄｌ）ｘ となる。この左辺に（３）を代入し、右辺に（１）を代入すると、 １＋ｓｒ η ｐｘ＝ｐｘ （＞０） １＋ｒ １＋ｒ となる。したがって、η−１＝ｓｒ、すなわち、ｇ＝ｓｒとなる。われわれの仮定のもとでは、利潤率ｒは正であるから、資本家が少しでも貯蓄する限り（ｓ＞０）均斉成長率は正となるのである。すなわち、均斉成長経路は拡大再生産経路である。以上で、定理の前半が証明されたことになる。 いま、（Ｉ−Ｂ）-1（Ａ＋ｄｌ）の１／η以外の固有根を１／ηi（ｉ＝１，２，・・・・，ν、ν＜ｎ）としよう。また、それに対応してｇi＝ηi−１としよう。（Ｉ−Ｂ）-1（Ａ＋ｄｌ）は分解不能であるから、１／ηは単根でかつフロベニウスの定理により１／η≧｜１／ηi｜である。また、さらにそれがプリミティブな行列であることから１／ηと絶対値が等しい固有根は存在しない<10>。したがって、１／η＞｜１／ηi｜であり、 １ １ ＞ １＋ｇ １＋ｇi となる。したがって、｜ｇi｜＞ｇである。分解不能の仮定によって、ｇiが実数となるものの中に、固有ベクトルが非負となるものは存在せず<11>、いずれかの要素は必ず負となる。またｇiが虚数で、その絶対値はすべてｇよりも大きいので、いつかは成長の運動にしはい的な影響を与えるようになり、固有ベクトルの符号を周期的に反転させる。これらのことを考慮すれば、構成比がｘと異なる成長経路は、時間がたつといずれかの構成要素が負とならざるを得なくなることがわかった。これで、定理の後半も証明されたことになる。 証明終わり ３ 資本蓄積の最大化問題とターンパイク安定性 ここで定式化された均斉成長経路が最適蓄積経路のターンパイクとして機能することを示す<12>。そのために技術と実質賃金について次の追加的な仮定を設ける。 ＜仮定４＞ Ａ＋ｄｌは非特異（Nonsingular）行列である。 資本蓄積ターンパイクを問題にする場合、目的関数をどう設定するかについて選択の余地があるが、この場合、均斉成長経路がターンパイクとして機能する点で結果的な差はない。すなわち、いずれの目的関数のもとでも、計画期間のうちターンパイクから一定距離（原点における角度ではかられる）以上はなれる期間は、計画期間の長さに依存しないある一定の長さ以上にはならない。 ここでは問題を次のように定式化する。 ｍａｘ． μ ｓ．ｔ． （Ｉ−Ｂ）ｘt≧（Ａ＋ｄｌ）ｘt+1 ｔ＝０，１，・・・，Ｔ−１ （Ｉ−Ｂ）ｘT≧μηTｘf （Ｉ−Ｂ）ｘ0＞０ ｘ0：given. ｘf０ ここで、μはスカラーである。すなわち、この問題は、初期の生産財として利用可能な財のストックと目的とすべき最終期の、その後の期の生産に利用可能な財ストックの構成比ｘfを最大化するものである。ここでの、第二の条件式の右辺にηTがかけられているが、これは証明の便宜のためであって、実際これが存在しようとしまいと最適成長経路そのものはまったく影響を受けない。 以後、この問題の解としての最適経路をｘ0，ｘ1，ｘ2，・・・・，ｘTであらわそう。そして、ここではまず、この最適経路がある等号経路、すなわち制約条件式をすべて等号でみたしているようなある経路に接近していることを示そう<13>。等号経路とは次期生産に使用されないような財の余剰がまったく生み出されていないような経路である。これは、マッケンジーがノイマンファセットへの接近と呼んだものに対応している。それは、最大成長率を実現する技術の支配的使用と等号経路への接近という２つの内容を含んでいるが、われわれの場合、各部門とも技術は一組しか持っていないので、等号経路への接近だけを問題にしている。 この等号経路への接近を示す上で、制約条件を満たすある特殊な実行可能経路が決定的な役割を果たす。これは、ラドナーによって導入されたきわめてエレガントな方法によるもので、しかもそれは単に技巧的な巧さというよりも、最適経路の本質をくっきりと浮かび上がらせる点できわめてすぐれたものである。その特殊な実行可能経路とは、第１期の生産量をいきなり均斉成長経路の構成比にのせてしまい、その後はこの均斉成長経路上を成長して最後の期に目的の産出構成比を、最大の規模で実現するという成長経路である。したがって、この実行可能経路は、最初の期と最後の期を除いてあとの期はすべて均斉成長経路上にいることになる。したがっていま、（Ｉ−Ｂ）ｘ0≧ζ（Ａ＋ｄｌ）ｘを満たす最大のζをζmとしよう。ｘは先の固有ベクトルで、その定数倍はすべて有効だったので、以後このζmｘをただのｘとかくことにしよう。するとこのｘは以後均斉成長率ｇ（＝η−１）で成長することになるので、その経路は次のように表現できる。 ｘ0，ｘ，ηｘ，η2ｘ，・・・・，ηT-1ｘ この経路は、問題の制約条件を完全に満たす、実行可能成長経路である。しかし、最適経路であるとは限らない。最適経路は、この実行可能経路かそれ以上の最終的な資本蓄積を達成しなければならないことは確かである。そこで、いま、この実行可能経路によって実現できる最大のμを考えてみよう。すなわち（Ｉ−Ｂ）ηT-1ｘ≧μηTｘfを満たす最大のμをμhとする。ところで、この不等式は（Ｉ−Ｂ）ｘ≧μηｘfとも表現でき、μhはこの不等式を満たす最大のμでもあるので、このμhは、計画期間であるＴにまったく依存せずに決定できることがわかる。また、不等式の左辺は厳密に正のベクトルであり、ｘf０であるからμhは必ず正の値をとる。このことが、以下のターンパイク定理の証明にとって重要な役割を果たす。 一方、最適経路によって実現されるμをμmとあらわすことにしよう。明らかに、この最適経路によって実現されるμmは、実行可能経路によって実現されるμhをしたまわってはならないので、 μm≧μh （５） さらに、以下の議論に必要な次の関係を確認しておこう。まず、（４）より、 （Ｉ−Ｂ）ｘ＝η（Ａ＋ｄｌ）ｘ （６） また、（１）、（３）とη＝１＋ｇ＝１＋ｓｒの関係より、 ｐ（Ｉ−Ｂ）＝ηｐ（Ａ＋ｄｌ） （７） となる。 また、最適経路上での財の余剰をあらわすベクトルをｓt＝（ｓt1，ｓt2，・・・・，ｓtn）（資本家の貯蓄性向のｓと混同しないように）として次のように定式化しよう<14>。 （Ｉ−Ｂ）ｘt−（Ａ＋ｄｌ）ｘt+1＝ηtｓt (t=0,1,2,･･･,T-1) さらに、ｚt＝η-tｘt (t=0,1,2,･･･,T)とおくと、この式は、 （Ｉ−Ｂ）ｚt−η（Ａ＋ｄｌ）ｚt+1＝ｓt (t=0,1,2,･･･,T-1) （８） とかける。ただし、制約条件より、ｓt≧０である。 以上で、次の補題を証明する準備が整った。以下、ノルム‖・‖は、要素の絶対値の和であらわすとしよう。 ＜補題２＞ 任意のε（＞０）に対して自然数Ｋが存在し、Ｔ＞Ｋならば、少なくともＴ−Ｋ期間‖ｓt‖＜εとなる。 証明 等号経路からはずれることによる損失を次のような方法で評価することにしよう。各期の余剰ｓtを均衡価格ｐで評価するのである。したがって、最適経路上のすべての価値損失は、 T-1 ｐｓt t=0 であらわされることになる。すると、この損失には、計画期間Ｔに依存しないある上限が存在することが次のようにしてわかる。（８）をもちいると、 T-1 T-1 ｐｓt＝ｐ［（Ｉ−Ｂ）ｚt−η（Ａ＋ｄｌ）ｚt+1］ t=0 t=0 T ＝ｐ［（Ｉ−Ｂ）−η（Ａ＋ｄｌ）］ｚt t=1 ＋ｐ（Ｉ−Ｂ）ｚ0−ｐ（Ｉ−Ｂ）ｚT をえる。この右辺第１項の値は、（７）によって０である。さらに最適問題の制約条件の第２式をηtで割ればわかるように（Ｉ−Ｂ）ｚT≧μmｘfであり、また（５）式より（Ｉ−Ｂ）ｚT≧μhｘfであるから、結局上の全価値損失の式は、 T-1 ｐｓt≦ｐ（Ｉ−Ｂ）ｚ0−μhｐｘf t=0 となる。右辺は、これまでの議論からまったくＴに依存しないことがわかる。また右辺が非負の値を持つことは明かである。この右辺をＶとおこう。ｐは前に述べたように、すべての要素が正のベクトルであるから、その中の最小要素をα（＞０）としよう。また、その要素がすべて１で構成されている、ｎ次元行ベクトルをｅとおくと、 T-1 T-1 αｅｓt≦ｐｓt≦Ｖ t=0 t=0 となる。‖ｓt‖≧εとなる期間をＫ'とするとｅｓt＝‖ｓt‖Ｋ'であるから、Ｋ'はαεＫ'≦Ｖとなるものでなければならない。したがって、この条件式を満たすＫ'の内で最大の自然数をＫとおけば、補題は証明されたことになる。 証明終わり この補題が意味していることは、計画期間がある十分な長さを持っていれば、最適経路がある等号経路から、原点の角度によってはかられる一定距離以上はなれる期間が、計画期間に依存しない一定数以上にはならないことを意味している。しかし、注意しなければならないのは、この等号経路がわれわれの均斉成長経路かどうかはまったくわからない。しかし、Ｔがいかに大きくても等号経路からはずれる期間が常にＫでおさえられているので、その等号経路は最も持続性のある経路であることは容易に想像できる。 さらに以下の証明に必要な次の補題もここで証明しておこう。 ＜補題３＞ ｚ0，ｚ1，・・・・，ｚT は、ｎ次元財空間の非負象現内の、原点を含まない、二つの超平面でかこまれた、有界閉空間内にとどまりつづける。そして、その空間は、Ｔに依存しないようにとることができる。 証明 （Ｉ−Ｂ）ｘt≧（Ａ＋ｄｌ）ｘt+1に左からｐ／ηtをかけるとｐ（Ｉ−Ｂ）ｚt≧ｐη（Ａ＋ｄｌ）ｚt+1となる。また（１）より、ｐ（Ｉ−Ｂ）ｚt＝ｐη（Ａ＋ｄｌ）ｚtが成立する。これらの関係により、 ｖmaxｐη（Ａ＋ｄｌ）ｚ0＝ｐ（Ｉ−Ｂ）ｚ0≧ｐη（Ａ＋ｄｌ）ｚ1 ＝ｐ（Ｉ−Ｂ）ｚ1≧ｐη（Ａ＋ｄｌ）ｚ2＝・・・・・・ ・・・＝ｐ（Ｉ−Ｂ）ｚT-1≧ｐη（Ａ＋ｄｌ）ｚT ＝ｐ（Ｉ−Ｂ）ｚT≧ｐμhｘfｖmin（＞０） をえる。したがって、Ｒ＝｛ｑ｜ｖmax≧ｐη（Ａ＋ｄｌ）ｑ≧ｖmin｝とすると、このＲが求める空間となる。 証明終わり 次に、最適経路が接近している経路がターンパイク、すなわち均斉成長経路に他ならないことを証明しよう。一つあらかじめ注意しておくと、以下で証明する補題４，５，６にでてくる計画期間は、最適問題にでてくる計画期間とは異なっている。この点は、定理３の証明のときに示すが、補題の計画期間は全計画期間の内のある部分的な期間で、等号経路に接近している期間である。 仮定４によってＡ＋ｄｌは非特異行列であるから、逆行列が存在する。そこで、次のような差分方程式を考えよう。 １ ｑt+1＝ （Ａ＋ｄｌ）-1（Ｉ−Ｂ）ｑt （９） η これは、一般に次のように解くことができる。 n ｑt+1＝ｈ1＋βtjｈj （１０） j=2 ここで、ｈj（ｊ＝１，２，・・・・，ｎ）は、初期条件と（Ａ＋ｄｌ）-1（Ｉ−Ｂ）の固有ベクトルによって決まるベクトルである。もちろん、実際上各固有ベクトルの定数倍でしかないから、それ自身固有ベクトルである。βi（ｉ＝１，２，・・・・，ｎ）はその固有根をηで割ったものであり、ηそれ自身も固有根であるから、βの中には１という値を持ったものが存在しているが、それを第１番のもの、したがって、β1＝１としている。すでに述べたように、（Ａ＋ｄｌ）-1（Ｉ−Ｂ）のη以外の固有根の絶対値はすべてηより大きいので、 ｜βi｜＞１ （ｉ＝２，３，・・・・，ｎ） となる。この経路について次の補題が証明される。 ＜補題４＞ 任意のξ＞０、任意のω＞０に対してある自然数Ｍが存在して、Ｔ＞Ｍかつｄ（ｑt，Ｒ）＜ξ（ｔ＝０，１，２，・・・・，Ｔ）ならば、 ｄ（ｑt，ｈ1）＜ω （０≦ｔ≦Ｔ−Ｍ） となる。ＭはＴ，ｑ0に依存しない<15>。 証明 ｄ（ｑT，Ｒ）＜ξを満たすような経路とＴである限り、それらの‖ｑT‖は有界になる。したがって、‖βTiｈi‖（ｉ＝２，３，・・・・，ｎ）は補題の条件を満たすものである限り、Ｔから独立で、Ｒ、ξにのみ依存する上限を持つ。ところで、 n n ‖βtiｈi‖＝｜βi｜t-T‖βTiｈi‖ （１１） i=2 i=2 と変形できる。そこで、‖βTiｈi‖（ｉ＝２，３，・・・・，ｎ）の上限をＬmaxとして、 n Ｌmax｜βi｜-M' i=2 を考えよう。｜βi｜＞１だからＭ’を十分大きくとれば、 n Ｌmax｜βi｜-M'＜ω i=2 とすることができる。そのようなＭ’の中で最小のものをＭとすると、Ｔ＞Ｍでｔ−Ｔ≦−Ｍである限り、 n ｜βi｜t-T‖βTiｈi‖＜ω i=2 となる。もともとの（１１）より、 n ‖βtiｈi‖＜ω i=2 がこのｔについて成立することになるから、結局、（１０）を考慮して、 n ｄ（ｑt，ｈ１）≦‖βtｈi‖＜ω （０≦ｔ≦Ｔ−Ｍ） i=2 となる。 証明終わり さらに、ｓtが十分小さい最適経路の構成部分と等号経路の距離について次の補題が証明される。 ＜補題５＞ 任意の自然数Ｔ、任意のδ＞０に対して、ε＞０が存在して、‖ｓt‖＜ε（ｔ＝０，１，２，・・・・，Ｔ）ならば、ｄ（ｚt，ｑt）＜δ（ｔ＝０，１，２，・・・・，Ｔ）となる。ただし、ｑt（ｔ＝０，１，２，・・・・，Ｔ）は、（９）を満足し、ｑ0＝ｚ0となるような経路である。 証明 （８）式より １ １ ｚt+1＝ （Ａ＋ｄｌ）-1（Ｉ−Ｂ）ｚt− （Ａ＋ｄｌ）-ｓt η η となる。ここで、 １ Ｄ＝（Ａ＋ｄｌ）-1（Ｉ−Ｂ） η とおこう。したがって、 １ t-1 ｚt＝Ｄtｚ0− Ｄt-k-1（Ａ＋ｄｌ）-1ｓk η k=0 となる。一方、（９）式よりｑt＝Ｄtｑ0であるから、 １ t-1 ｄ（ｚt，ｑt）＝‖ Ｄt-k-1（Ａ＋ｄｌ）-1ｓk‖ η k=0 となる。また、Ｄt-k-1（Ａ＋ｄｌ）＝Ｆtkとしよう。ただし、Ｆtk＝（ｆij）である。もちろんｆijもｔ，ｋに依存するが、記号が複雑になるので省略している。そこで、ノルムの性質から、 t-1 t-1 ‖Ｆtkｓk‖≦‖Ｆtkｓk‖ k=0 k=0 また、 n n n n ‖Ｆtkｓk‖＝｜ｆijｓki｜≦｜ｆijｓki｜ j=1 i=1 i=1j=1 さらに、ｆm＝ｍａｘ｜ｆij｜とし、‖ｓt‖＜ε'とすると上の式は、 n ≦ｆmｎ（｜ｓki｜）＜ｆmｎε' i=1 となる。したがって、このε'が十分に小さくとれれば、ｆmｎε'＜ηδとすることができる。したがって、こうしたε'が各期とることができるので、それらの中で、最小のものをεとすると、そのεに対してｄ（ｚt，ｑt）＜δ（ｔ＝０，１，２，・・・・，Ｔ）とすることができる。このεは、Ｔには依存するがｑ0には依存しない。 証明終わり 最後の補題として次のものがある。 ＜補題６＞ 任意のξ（＞０）に対して、自然数Ｍとε（＞０）が存在して、Ｔ＞Ｍ、‖ｓt‖＜ε（ｔ＝０，１，２，・・・・，Ｔ）となるＴとεについて、 ｄ（ｚt，Ｈ）＜ξ （０≦ｔ≦Ｔ−Ｍ） となる。ただし、Ｈ＝Ｒ｛λｘ｜λ≧０｝である。 証明 ξ＞０が与えられているので補題４のωをξ／２にとり、Ｒも与えられているので、Ｍを決めることができる。そのＭに対して、補題５より、 ξ ｄ（ｚt，ｑt）＜ （ｔ＝０，１，２，・・・・，Ｍ） ２ となるような十分に小さなε＞０をとることができる。ただし、ここでｚ0＝ｑ0にとっている。この経路を、ｑ0(0)，ｑ1(0)，・・・・・，ｑM(0)としよう。また、一般に、ｑ0(t)＝ｈ1(t)＋ｈ2(t)＋，・・・・・，＋ｈn(t)（ｔ＝０，１，２，・・・・，Ｔ−Ｍ）と記述することにする。すると、 ｄ（ｚ0，ｈ1(0)）≦ｄ（ｑ0(0)，ｈ1(0)）＋ｄ（ｚ0，ｑ0(0)） ξ ξ ＜ ＋ ＝ ξ ２ ２ となる。次に、ｑ0(1)＝ｚ1として、同じεで（εは、初期状態に依存しないのに注意せよ）、 ｄ（ｚ1，ｈ1(1)）≦ｄ（ｑ0(1)，ｈ1(1)）＋ｄ（ｚ1，ｑ0(1)） ξ ξ ＜ ＋ ＝ ξ ２ ２ となる。同じことを繰り返して、結局、 ｄ（ｚt，ｈ1(t)）＜ξ （ｔ＝０，１，２，・・・・，Ｔ−Ｍ） とすることができる。 さらに、ｈ1(t)TＨとなることは次のようにしてわかる。ｚtTＲ（ｔ＝０，１，２，・・・・，Ｔ−Ｍ）だから、ｑ0(t)TＲである。このとき、ｈ1(t)Tとなる。なぜなら、（Ａ＋ｄｌ）-1（Ｉ−Ｂ）のη以外の固有根ηi（ｉ＝２，３，・・・・，ｎ）に対応する固有ベクトルをｈi（ｉ＝２，３，・・・・，ｎ）としよう。すると、 ｐ（Ｉ−Ｂ）ｈi＝ηiｐ（Ａ＋ｄｌ）ｈi ｐ（Ｉ−Ｂ）ｈi＝ηｐ（Ａ＋ｄｌ）ｈi となる。第１式は、固有方程式に均衡価格ベクトルｐをかけたものであり、第２式は、均衡価格の決定式に固有ベクトルをかけたものである。したがって、左辺が等しいので、（ηi−η）ｐ（Ａ＋ｄｌ）ｈi＝０となり、仮定によりη≠ηiであるから、結局ｐ（Ａ＋ｄｌ）とｈiは直交している。すなわち、ｈi（ｉ＝２，３，・・・・，ｎ）はすべてｐ（Ａ＋ｄｌ）と直交し、原点を通る超平面にすべて含まれている。また、Ｒは原点は通らないが、おなじくｐ（Ａ＋ｄｌ）に直交する超平面で囲まれた有界閉空間である。したがって、ｈ1(t)T｛λｘ｜λ≧０｝であるから、ｈ1(t)はｚtを通りｐ（Ａ＋ｄｌ）に直交する超平面が、半直線｛λｘ｜λ≧０｝を切るところにある。すなわち、ｈ1(t)TＲである。したがって、ｈ1(t)T（ｔ＝０，１，２，・・・・，Ｔ−Ｍ）となり、補題は証明された。 証明終わり 以上の準備のもとに、われわれの最終目標であるターンパイク定理が次のように証明される。 ＜定理３＞ 仮定１，２，３，４のもとでｘ0，ｘ1，ｘ2，・・・・，ｘTを最大蓄積問題の解とする。任意の、ξ＞０に対して自然数Ｎが存在し、Ｔ＞Ｎならば、Ｔ−Ｎ期間について、ｄ（ｚt，λtｘ）＜ξとすることができる。ただしλtはλtｘTＨとする適当な正の実数である。 証明 補題６より、任意のξ＞０に対して、自然数Ｍとε＞０が存在し、Ｔi＞Ｍかつ‖ｓt‖＜ε（ｔ＝ｔi，ｔi＋１，ｔi＋２，・・・・，ｔi＋Ｔi）ならば、ｄ（ｚt，Ｈ）＜ξ（ｔi≦ｔ≦ｔi＋Ｔi−Ｍ）となる。一方、補題２より任意の与えられたε＞０にたいして、自然数Ｋが存在し、‖ｓt‖≧εとなる期間は、Ｋを越えない。そこで、‖ｓt‖＜εとなる分離した部分期間は最大でもＫ＋１であるが、その一つ、ｔi，ｔi＋１，ｔi＋２，・・・・，ｔi＋Ｔiという期間をとりだして考察しよう。 ただし、Ｔi＞Ｍとする。このとき、 ｄ（ｚt，Ｈ）＜ξ （ｔi≦ｔ≦ｔi＋Ｔi−Ｍ） となる。さらにこれは、 ｄ（ｚt，λtｘ）＜ξ （ｔi≦ｔ≦ｔi＋Ｔi−Ｍ） とかける。ただし、λtは第ｔ期に、ｚtとＨとの距離を最小にするようなＨに含まれる点を示すように選ばれた正の実数とする。したがって、同じ議論がＴi＞Ｍ となる他の期間にもいえて、最大Ｎ＝Ｍ（Ｋ＋１）とおけば、Ｔ−Ｎ期間について、 ｄ（ｚt，λtｘ）＜ξ が成立する。 証明終わり この定理は、ターンパイク弱定理と呼ばれるものである。これに対して、ターンパイク強定理と言われるものは、ターンパイクからある一定距離以上にはなれる期間が、初期時点とと最終期に集中しているというものである。このモデルについても、何等の追加的な仮定も行なうことなくこれが証明できる。ここでは省略する。 脚注 ＜１＞このモデルは、置塩（１９７５）で展開されている順調拡大再生産経路のモデルのｎ部門への一般化である。 ＜２＞行列のこれらの性質については、二階堂（１９６１）を参照せよ。 ＜３＞同、pp.93,109を参照せよ。 ＜４＞同、pp.70,74,86を参照せよ。 ＜５＞同、p.87を参照せよ。 ＜６＞以下のモデルでは、置塩氏によって定義された順調拡大再生産経路の基本的性質を満たすことを前提にしている。順調拡大再生産経路は、（１）すべての部門での需給均衡、（２）生産財の過不足のない稼働、消耗が毎期成立する、という性質を持つ動学的経路である。こうした経路が研究される基本的動機について、置塩氏は、「資本制が長期にわたって再生産されていくためには、経済はどのような軌道をまがりなりにも運動しなければならないか」同（１９６７）調べることと、指摘している。同（１９７５）の中で示された２部門モデルの場合、与えられた条件のもとに、唯一の均斉成長経路が存在し、その経路が相対的不安定性を持つことが明らかにされている。すなわちこの経済モデルの成長経路が持続性を持つためには、その均斉成長経路が不安定であるために、初期状態からその経路上にのっていなければならないことが指摘されている。 しかし、この最後の点については若干の保留が必要かも知れない。というのは、われわれが、以下で示す一般的なモデルの場合、プリミティブという仮定をはずすと、均斉成長経路上を巡回するような経路が可能になるのである。したがって、経路が長期的に持続する、それは生産量が負になるような領域に突入しないことを意味しているが、その条件は、均斉成長経路だけが満たすとは限らないのである。また、Jorgenson（1960）にも指摘されているように、モデルを動学的なレオンチェフモデルの場合、均斉成長経路に収束していく場合もあることを忘れてはならない。 ＜７＞Morishima（１９７３）の命名法に基本的に同じである。 ＜８＞二階堂（１９６１）、p.70を参照せよ。 ＜９＞同、p.78を参照せよ。 ＜１０＞同、pp.87,112を参照せよ。 ＜１１＞同、p.89を参照せよ。 ＜１２＞ターンパイク定理は、ＤＯＳＳＯ（１９５８）によって示唆され、Radner（1961）、Morishima（1961）によって、最初の厳密な証明が与えられた。さらに、一般化されたレオンチェフ型の投入産出モデルについての証明は、Tsukui（１９６２）（１９６６）（１９７９）、Mckenzie,（1963）によって与えられた。これらがすべて、最終状態ターンパイク定理あるいは資本蓄積ターンパイク定理と呼ばれるのに対して、経路上の消費フローをなんらかの評価関数によって評価しそれを最大にする、消費ターンパイク定理も、Tsukui（１９６７）（１９７９）、Gale（１９６７）、Atumi（１９６９）、Mckenzie（1968）、Morishima（１９６９）などによって議論されてきた。 ＜１３＞ここでのターンパイク定理の証明は、Tsukui（１９７９）のレオンチェフ型モデルの証明に依拠している。モデルが単純なだけ、ここでの証明法は見通しよくなっている。 ＜１４＞このｓtがTsukui（１９７９）のストックアクティビティの水準に対応する。 ＜１５＞距離関数ｄはノルム‖・‖によって定義されている。 |